Що таке ортонормований базис підпростору?
ортонормований базис можна використовувати для визначення нормалізованих ортогональних координат на. За цими координатами в
стає скалярним добутком векторів. Таким чином, наявність ортонормованого базису зводить дослідження скінченновимірного простору внутрішнього продукту до вивчення. під скалярним добутком.
Теорема. Кожен ненульовий підпростір в Rn має принаймні один ортогональний базис. (Насправді, будь-який ненульовий підпростір має нескінченну кількість ортогональних баз.) Процес Грама-Шмідта є важливим алгоритмом, який приймає базис для підпростору W ⊂ Rn як вхідні дані та створює ортогональний базис для W як вихідні дані.
Ортогональний базис: приклад. Ортогональний базис для підпростору W в Rn є базис для W, який також є ортогональним набором. приклад. Припустимо, що S = {u1,u2,…,up} є ортогональним базисом для підпростору. W з Rn і припустимо, що y знаходиться в W.
Корисність ортонормованого базису полягає в тому, що кожен базисний вектор ортогональний до всіх інших і всі вони мають однакову "довжину". Розглянемо проекцію на кожен вектор окремо, який у певному сенсі «паралельний» іншим векторам, тому він не має «довжини» в цих векторах.
Таким чином, ортонормований базис — це базис, що складається з одиничних взаємно ортогональних векторів. Введемо позначення δij для цілих чисел i та j, визначених δij = 0, якщо i 6= j та δii = 1. Таким чином, базис B = {x1,x2,…,xn} є ортонормованим тоді і тільки тоді, коли xi · xj = δij для всіх i, j.
Ортонормований набір має бути лінійно незалежним, тому він є векторним базисом для простору, який охоплює. Такий базис називається ортонормованим. Найпростішим прикладом ортонормованого базису є стандартний базис для евклідового простору. Вектор — це вектор із усіма нулями, окрім 1, у ній координаті.