Що таке ряд Тейлора для функціоналу?

У математиці — ряд Тейлора або розкладання функції Тейлора нескінченна сума доданків, які виражаються через похідні функції в одній точці. Для більшості поширених функцій функція та сума її ряду Тейлора дорівнюють поблизу цієї точки.

Ряд Тейлора — це степеневий ряд, зосереджений навколо значення x=a, де нескінченно диференційована функція на деякому інтервалі, що містить a. Тоді згенерований ряд Тейлора має такий вигляд: ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 !

Теорема про ряди Тейлора Припустимо, що якщо f(x) є дійсною або складеною функцією, яка є диференційованою функцією сусіднього числа, яке також є дійсним або складеним. Тоді ряд Тейлора описує наступні степеневі ряди: f ( x ) = f ( a ) f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ” ( a ) 2 !

Коли степеневий ряд записується у формі (11), він називається рядом Тейлора для f відносно точки c. Таким чином, ви можете називати ряд у правій частині (8) «степеневим рядом» або «рядом Тейлора» для арктанксу приблизно c. Числа bk, визначені (10), називаються коефіцієнтами Тейлора.

Щоб знайти ряд Тейлора для функції, нам знадобиться визначити загальну формулу для f(n)(a) f ( n ) ( a ) . Це одна з небагатьох функцій, де це легко зробити з самого початку. Щоб отримати формулу для f(n)(0) f ( n) ( 0 ), усе, що нам потрібно зробити, це визнати, що f(n)(x)=exn=0,1,2,3,…

У математиці — ряд Тейлора або розкладання функції Тейлора нескінченна сума доданків, які виражаються через похідні функції в одній точці. Для більшості поширених функцій функція та сума її ряду Тейлора дорівнюють поблизу цієї точки.