Що таке теорема Стоуна-Вейерштрасса для C * алгебри?

Нехай A — C*-алгебра всіх комплекснозначних неперервних функцій, що звертаються в нуль у нескінченності на локально компактному просторі. Теорема Стоуна-Вейерштрасса дає умови, за яких C*-підалгебра B збігається з A. Вірогідним некомутативним розширенням теореми Стоуна-Вейєрштрасса є гіпотеза.

Теорема Стоуна–Вейєрштрасса (локально компактні простори) — припустимо, що X є локально компактним гаусдорфовим простором, а A є підалгеброю C0(X, R). Тоді A є щільним у C0(X, R) (враховуючи топологію рівномірної збіжності) тоді і тільки тоді, коли воно розділяє точки і нікуди не звертається.

C*-алгебри операторів. Прототиповим прикладом C*-алгебри є алгебра B(H) обмежених (еквівалентно неперервних) лінійних операторів, визначених на комплексному гільбертовому просторі H; тут x* позначає спряжений оператор оператора x : H → H.

Теорема Вейєрштрасса—Існування глобального мінімуму Якщо f(x) неперервна на непорожній можливій множині S, яка є замкнутою та обмеженою, то f(x) має глобальний мінімум у S. Щоб скористатися теоремою, ми повинні зрозуміти значення замкнутої та обмеженої множини.

Однією з корисних теорем в аналізі є теорема Стоуна-Вейерштрасса, яка стверджує, що будь-яка неперервна комплексна функція на компактному інтервалі може бути апроксимована з будь-яким ступенем точності за допомогою послідовності поліномів.

Теорема Глімма Стоуна-Вейерштрасса стверджує, що якщо A є C*-алгеброю, P(A) є множиною чистих станів A, а B є C*-підалгеброю, яка розділяє P(A)v{0}, тоді B = A.