Яка різниця між аналітичним і голоморфним?

Хоча термін аналітична функція

часто використовується як взаємозамінне з «голоморфною функцією», слово «аналітична» визначається в ширшому значенні для позначення будь-якої функції (дійсної, комплексної або більш загального типу), яку можна записати як збіжний степеневий ряд у околиці

кожної точки в її області.

Голоморфні функції іноді називають регулярними функціями. Функція, голоморфна на всій комплексній площині, називається цілою функцією. Фраза «голоморфна в точці z» означає не просто диференційовану в точці z, але диференційовану всюди в межах деякого відкритого диска з центром у точці z на комплексній площині.

Приклади таких функцій: F1(x + iy)=(x + iy)2, або еквівалентно F1(z) = z2 F2(x + iy) = ex cos(y) + iex sin(y), або еквівалентно F2(z) = ez F3(x + iy) = x − iy, або еквівалентно F3 (z)=¯z.

Визначення. Зафіксуємо область D ⊂ C . Функція f : D → C називається голоморфною на якщо вона диференційовна в кожній точці z ∈ D .

Функція f:Ω→C називається аналітичною, якщо її можна представити у вигляді збіжного степеневого ряду в околі кожної точки z∈Ω. Функція f:Ω→C називається мероморфною, якщо вона голоморфна на Ω за винятком набору полюсів, тобто f:Ω∖P→C є голоморфною, де P позначає набір полюсів f.

Хоча термін аналітична функція часто використовується як взаємозамінний з «голоморфною функцією», слово «аналітичний» визначається в ширшому значенні для позначення будь-якої функції (дійсної, комплексної або більш загального типу), яку можна записати як збіжний степеневий ряд в околицях кожної точки в її області визначення.