Яка різниця між sup inf і max min?

Основна відмінність полягає в тому, що нижня та верхня величини завжди існують (якщо ви допускаєте значення ±∞), але мінімальна та максимальна не існують. Якщо набір скінченний, то він тривіальний, оскільки скінченний набір завжди має максимальний і мінімальний елементи, але якщо ви подивіться на щось на зразок: A={x∈Q:x>0}. 23 січня 2011 р.

Верхня грань множини є її найменшою верхньою межею, а нижня грань — найбільшою верхньою межею. Означення 2.2. Припустимо, що A ⊂ R — множина дійсних чисел. Якщо M ∈ R є верхньою межею A такою, що M ≤ M′ для кожної верхньої межі M′ A, тоді M називається супремумом A і позначається M = sup A.

Загалом, якщо множина має найменший елемент, то найменший елемент є нижньою точкою множини. У цьому випадку його також називають мінімумом множини. inf { 1 , 2 , 3 , … }

Супремум — це таке число, яке більше за всі числа в даній послідовності. Хоча це вірно для максимуму, максимум має додаткову властивість, що він повинен бути членом послідовності, тому, хоча кожен максимум є супремумом, ось чим вони відрізняються.

Нехай S — набір дійсних чисел, що мають верхню межу. Потім найменша верхня межа S u називається супремумом S . Якщо u є в множині S, то ми називаємо u максимумом S .

Степеневий набір ℘(X) множини X є повною решіткою, яка впорядкована включенням множини, отже верхня та нижня величина будь-якої множини підмножин (з точки зору включення множини) завжди існують.