Що таке білінійна форма в математиці?

Означення 3.1 – Білінійна форма. Білінійною формою на дійсному векторному просторі V є функція f : V × V → R, яка присвоює номер кожній парі елементів V таким чином, що f є лінійною за кожною змінною. Типовим прикладом білінійної форми є скалярний добуток на Rn.

Тоді як лінійна форма відображає вектор на скаляр, білінійна форма відображає пару векторів на скаляр. Ці вектори є аргументами. Якщо ми залишимо один із цих векторів фіксованим, білінійна форма в кінцевому підсумку діє на інший вектор як лінійна карта. Іншими словами, він є лінійним в іншому векторі.

bi·​lin·​ear (ˌ)bī-ˈli-nē-ər. : лінійний по відношенню до кожної з двох математичних змінних. конкретно: або пов'язаний з алгебраїчною формою, кожен термін якої включає одну змінну до першого ступеня з кожного з двох наборів змінних.

Іншими словами, білінійна форма — це функція B : V × V → K, лінійна за кожним аргументом окремо: B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) і B(λu, v) = λB(u, v)

Скалярний добуток — це відображення векторного простору, перетнутого з самим собою, на R або C. Також скалярний добуток має бути позитивно визначеним: ⟨x,x⟩≥0. Білінійне відображення, навпаки, є просто відображенням A×B→C для лінійних просторів A,B,C, яке є білінійним.

Типовим прикладом білінійної форми є скалярний добуток на Rn. Зазвичай ми будемо писати hx,yi замість f(x,y) для простоти, а також ідентифікуватимемо кожну матрицю 1 × 1 її унікальним записом. aijxiyj для деякої n × n матриці A, і ми також маємо aij = hei,eji для всіх i, j.