Що таке нормований простір у функціональному аналізі?

Під нормованим лінійним простором (коротко нормованим простором) мається на увазі дійсний або комплексний векторний простір E, у якому кожен вектор x асоціюється з дійсним числом |x|, яке називається його абсолютним значенням або нормою, таким чином, що виконуються властивості (a′)−(c′) §9.5 вересня 2021 р

У математиці норма є функція від дійсного або комплексного векторного простору до невід’ємних дійсних чисел, яка поводиться певним чином, як відстань від початку координат: він комутує з масштабуванням, підкоряється формі нерівності трикутника і дорівнює нулю лише в початку координат.

Нехай c00 позначає набір послідовностей зі скінченним носієм (тобто для кожного (xn) ∈ c00 існує деяке N ∈ N таке, що якщо n ≥ N, то xn = 0). Зверніть увагу, що сума послідовностей зі скінченним носителем все ще має скінченний носій, і аналогічно для скалярних кратних. тому c00 є векторним підпростором як `∞, так і `2.

Найбільш важливими просторами з точки зору функціонального аналізу, розглянутими в цій статті, є метричні/топологічні простори, банахові простори та гільбертові простори.

Дійснозначна функція на векторному просторі V називається нормою для V, якщо вона задовольняє наступним трьом властивостям: Позитивність: N(v) ≥ 0 з рівністю тоді і тільки тоді, коли v = 0. Позитивна однорідність: N(αv) = |α|N(v). Нерівність трикутника: N(x1 + x2) ≤ N(x1) + N(x2).

Визначення. Нормований простір – це векторний простір X, наділений функцією X→[0,∞),x↦‖x‖, що називається нормою на X, яка задовольняє: (i)‖λx‖=|λ|‖x‖, (позитивна однорідність)(ii)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖, (нерівність трикутника)( iii)‖x‖=0, якщо і тільки якщо x=0, (позитивна визначеність)