Яка різниця між контраваріантною та коваріантною похідною?
У диференціальній геометрії компоненти вектора відносно базису дотичного розшарування є коваріантні, якщо вони змінюються з таким же лінійним перетворенням, як a
. Вони є контраваріантними, якщо змінюються шляхом зворотного перетворення.
Коли коваріантний функтор оперує морфізмом, напрямок стрілки зберігається в цільовій категорії. Однак напрямок морфізму змінюється у випадку контраваріантного функтора. (Одиниця) F idx = idFx • (Композиція) Нехай f : a → b і g : b → c є морфізмами C, тоді F (g ◦f)=(F f)◦(F g).
Якщо об’єкт трансформується так само, як і базисні вектори, він є коваріантним вектором, який також називають 1-формою. Якщо він перетворюється як координати, а отже, у протилежному напрямку як базисні вектори, це контраваріантний вектор або просто вектор.
Формальне визначення коваріантний, якщо він зберігає порядок типів (≤), який упорядковує типи від більш специфічних до більш загальних: Якщо A ≤ B , то I<A> ≤ I<B> ; контраваріантний, якщо він змінює цей порядок: якщо A ≤ B , то I<B> ≤ I<A> ; біваріантний, якщо застосовуються обидва з них (тобто, якщо A ≤ B , тоді I<A> ≡ I<B> );
Розрізняють коваріантність і контраваріантність. Дуже грубо, операція є коваріантною, якщо вона зберігає порядок типів, і контраваріантною, якщо вона змінює цей порядок.
У диференціальній геометрії компоненти вектора відносно базису дотичного розшарування є коваріантні, якщо вони змінюються з таким же лінійним перетворенням, як і зміна базису. Вони є контраваріантними, якщо змінюються шляхом зворотного перетворення.